概念、一个正态总体均值的检验、两个正态总体均值差的检验、成对比较、二样本方差比的检验、拟合优度检验
问题的提出及几个概念
100件产品，6件次品
- 次品率是多少？（点估计）
- 次品率的范围？（区间估计）
- 次品率不会超过多少？（置信上限）
次品率不会低于多少？（置信下限） - 次品率是不是5%？
次品率是不是不超过6%？
次品率是不是不低于5%？
假设\(H_0\)（零假设、原假设）：
- 原先就有的假设
- 经过长期实践，被认为是正确的假设。
假设检验就是通过样本来回答\(H_0\)是否正确。
对正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)而言，一个\(H_0: \mu=\mu_0\)，其中\(\mu\)是一个未知常数，\(\mu_0\)是已知的常数。
检验分为参数检验（总体已知，参数未知）和非参数检验（总体未知，参数未知）。
- 参数检验：
- 用\(N(0,1)\)检验均值：\(u\)-检验、\(t\)-检验
- 方差：\(\chi^2\)检验、\(F\)检验
- 非参数检验：拟合优度检验：取有限值的离散分布
若否定原假设，则接受的假设要事先规定好，这一假设称为对立假设（备择假设），记为\(H_1\)。
- 若\(H_1:P \neq 0.05\)，称为双侧检验
- 若\(H_1:P >0.05\)，称为单侧检验
一个完整的假设检验形如：
\[H_0:... \leftrightarrow H_1:...\]
\(H_0\)和\(H_1\)的地位不平等，检验时，以站在保护原假设的立场上。因此在没有充分的证据下，总是认为\(H_0\)是正确的。
接受\(H_0\)，不能说明\(H_0\)一定正确，只能说明到目前为止，没有足够的证据说明\(H_0\)不对，所以接受原假设。
否定（拒绝）\(H_0\)，意味着有充分的证据说明\(H_0\)不对。
一个正态总体均值的检验
（待补充）
两个正态总体均值差的检验
\(X\backsim N(\_mu_1,\sigma_1^2),Y\backsim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)
- \(H_0:\mu_1-\mu_2=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_1-\mu_2 \neq \sigma\)
- \(H_0:\mu_1-\mu_2=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_1-\mu_2 > \sigma\)
- \(H_0:\mu_1-\mu_2=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_1-\mu_2 < \sigma\)
\(\mu_1,\mu_2\)都是未知常数。
检验规则：
\(\widehat {\mu_1-\mu_2}=\bar X-\bar Y\)
- 双侧检验：
\(\left| \bar Y-\bar Y-\sigma \right| \leqslant d\)，接受\(H_0\)
\(\left| \bar Y-\bar Y-\sigma \right| > d\)，拒绝\(H_0\) - 从\(H_1\)验证：
\(\bar X -\bar Y-\sigma>d\)，拒绝\(H_0\)
\(\bar X -\bar Y-\sigma\leqslant d\)，接受\(H_0\) - 从\(H_1\)验证：
\(\bar Y -\bar X-\sigma>d\)，拒绝\(H_0\)
\(\bar Y -\bar X -\sigma\leqslant d\)，接受\(H_0\)
\(\bar X \backsim N(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}),\bar Y \backsim N(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2}),\bar X-\bar Y\backsim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})\)
标准化：
\[\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\backsim N(0,1)\]
- 方差已知：
\(d=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}U_{\frac{\alpha}{2}}\)
单侧时：\(U_{\frac{\alpha}{2}}\)
双侧时：\(U_\alpha\) - \(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)未知：
\(d=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}S_Tt_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\) - \(n_1>30,n_2>30\)：
\(d=\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}U_{\frac{\alpha}{2}}\)
成对比较
\(Z_1,...,Z_n\)来自一份新的总体，\(Z=X-Y\)，\(X_1,X_2\)，\(Y_1,Y_2\)可能不同分布，但关心的是\(X-Y\)。
检验：
\(H_0:\mu_z=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_z \neq \sigma\)
\(H_0:\mu_z=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_z > \sigma\)
\(H_0:\mu_z=\sigma \leftrightarrow H_1:\mu_z < \sigma\)
- 成组比较：\(X_1,...,X_n\)比较\(Y_1,...,Y_n\)
- 成对比较：\(X_1,Y_2\)比较\(X_2,Y_2\)
二样本方差比的检验
\(H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=\sigma \leftrightarrow H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq \sigma\)
\(\hat{(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2})}=\frac{S_1}{S_2}\)
\(\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\backsim F_{n_1-1,n_2-1}\)
\(\frac{1}{B}<\frac{S_1^2}{S_2^2}<\frac{1}{A},0<A<1<B\)
拟合优度的检验
\(\chi^2\)统计量：\[\sum_{i=1}^k \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\]
\(O_i\)：观察值，\(E_i\)：理论值、期望值。
当\(n \to \infty\)时，\(\chi^2\)的分布趋向于自由度为\(n-1(P_1+P_2+...+P_n=1)\)的\(\chi^2\)分布。
当\(\chi^2> \chi_{k-1}^2(\alpha)\)时，拒绝\(H_0\)。
\[P(\chi_{k-1}^2 > \chi^2)=p\]
\(p\)值即\(p-value\)，即拟合优度，\(p\)值越小越，拟合优度越差，越要拒绝原假设