随机试验和事件、概率的定义及性质、条件概率
随机试验和事件
基本概念
- 随机现象
- 随机试验：随机现象的实现或对它某个特征的现象
- 基本事件：随机试验中每个可能的结果
- 事件：由若干个基本事件组成的随机试验的结果，通常用\(A,B,C\)，或\(\{一种描述\}\)来表示。例如\(A=\{恰好2次正面向上\}\)。
- 必然事件和不可能事件：
- 必然事件：试验中必然会发生的事件，通常用\(\Omega\)或\(S\)表示。
- 不可能事件：试验中不可能发生的事件，通常用\(\emptyset \)表示。
- 样本空间：所有基本事件组成的集合，用\(\Omega\)或\(S\)表示。样本空间的元素个数可能是有限多个、可数多个、不可数多个。
事件的运算
事件与集合一一对应
\(S\)：集合（空间）
事件：集合中的一部分
基本事件：空间中的点
由此将事件运算转到集合运算
子事件
\(A\)发生蕴含\(B\)发生，称事件\(A\)是事件\(B\)的子事件
记为\(A\subset B\)
若\(A\subset B,B \subset A\)，则\(A=B\)
事件的和
\(\{A发生或B发生\}\)称为事件\(A\)与\(B\)的和
记为\(A \cup B\)或\(A + B\)（慎用）
推广：n个事件的和
\[\{A_1发生或A_2发生...或A_n发生\}=A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n}{A_i}\]
事件的积
\(\{A发生且B发生\}\) 称为事件\(A\)与\(B\)的积
记为\(A \cap B\)或\(A \cdot B\)或\(AB\)
\(AB \subset A,AB \subset B\)
推广：n个事件的积
\[\{A_1发生且A_2发生...且A_n发生\}=A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n=\bigcap\limits_{i=1}^{n}{A_i}\]
对立事件
事件\(\{A不发生\}\)称为事件\(\{A\}\)的对立事件
记为\(\bar A\)或\(A^c\)
\[A \cap \bar A=\emptyset,A \cup \bar A=S\]
\[\overline{A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n }=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap\overline{A_n}\]
\[\overline{A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n }=\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup...\cup\overline{A_n}\]
\[A \cup B \cup C=A \cup \overline{A}B \cup \overline{AB}C\]
不相容（互斥）事件
\[P(A \cap B)=\emptyset\]
事件的差
事件\(\{A发生,B不发生\}\)称为\(A\)与\(B\)的差
记为\(A-B\)或\(A\verb|\|B\)或\(A \bar B\)
概率的定义及性质
定义
概率是随机事件发生的大小的可能性的数字表征，即概率是事件的函数。
古典定义
设\(S\)为样本空间，假定：
1. \(S\)中只有有限个基本事件，记为\(N\)（有限性）。
2. 每个基本事件的可能性相等（等可能性）。
则\(S\)中事件\(A\)含有\(m\)个基本事件，定义\(A\)的概率为\(P(A)=\frac{m}{N}\)
概率的统计定义
独立重复做\(n\)次试验，若事件\(A\)发生\(m\)，称\(f=\frac{m}{n}\)是\(A\)发生的频率。当\(n \to \infty\)时，\(f\)在某个值附近，称该值为事件\(A\)的概率，记为\[P(A)=p\]，不能写成\(\lim\limits_{n \to \infty}f_n=p\)（因为\(m\)不是一个确定的数）。
主观概率
先验概率，需要修正
概率的公理化定义
设\(A\)为样本空间\(S\)中的事件，若\(P\)满足以下条件：
- \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
- 若\(S\)为必然事件，\(P(S)=1\)
- 若\(A_1\cap A_2=\emptyset\)，则\(P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)\)
则\(P:S \to [0,1]\)称为\(S\)上的一个概率
\[\bar S=\emptyset, S \cup \emptyset=S, S \cap \emptyset=\emptyset\]
有一串事件\(A_1,A_2,...,A_n, A_i \cap A_j=\emptyset(i \neq j)\)
定义：\[P(\bigcup \limits_{i=1}^{\infty}{A_i})=\sum \limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)\]
推论：
- 若\(P(A)=p\)，则\(P(\bar A)=1-p\)
- 若\(A \subset B\)，则\(P(A) \leqslant P(B) \)
古典概型的计算
排列组合
排列：有序的\(n\)个物体中取\(r\)个，\[P_n^r=n(n-1)...(n-r+1)=(n)_r\]
重复排列：\(n^r\)
组合：\(C_n^r={r \choose n}\)
条件概率
条件概率
定义：在一次试验中，在某事件\(B\)发生的条件下，事件\(A\)发生的概率，称为条件概率，记为\(P(A|B)\)。\(B\)可以认为是试验中已知的某些信息。
计算：\[P(A|B)=\frac {P(AB)}{P(B)}\]
条件概率的性质：给定\(A\)发生，\(P(A)>0\)。
- \[0 \leqslant P(B|A) \leqslant 1\]
- \[0 \leqslant P(S|A)=1\]
- 若\(B_1 \cap B_2 = \emptyset\)，则\[P(B_1 \cup B_2 | A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)\]可以推广到\(n\)个两两不相容事件上。
由：\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \implies P(AB)=P(B)-P(A|B)\]
用归纳法推广到\(n\)个事件同事发生的概率：
\[P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\]
全概率公式
定义：完备事件群（分割）
设\(B_1,B_2,...,B_n\)为样本空间\(S\)中的\(n\)事件，满足：
- \[B_i \cap B_j=\emptyset (i \neq j)\]
- \[\bigcup\limits_{i=1}^n B_i=\sum\limits_{i=1}^n B_i=S\]
称\(B_1,B_2,...,B_n\)是样本空间\(S\)的一个分割，或完备事件群。
设\(\{B_1,B_2,...,B_n\}\)为\(S\)的一个分割，\(A\)为任一事件，则：
\[P(A)=\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\]
\[\begin{align}
P(A)& = P(A \cap S)=P(A \cap (\sum\limits_{i=1}^n B_i))\\
& =P(\sum\limits_{i=1}^n AB_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(AB_i)\\
& =\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
\end{align}\]
贝叶斯公式
设\(\{B_1,B_2,...,B_n\}\)为\(S\)的一个分割，\(A\)为任一事件。
则\[P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^n{P(A|B_j)P(B_j)}}\]
- “因果关系互换”
- 若没有告知具体的分割，则\(P(B|A)\)中的\(B\)和\(\bar B\)就是一个自然的分割。
独立性
两个事件的相互独立
若事件\(A\)、\(B\)满足\(P(AB)=P(A)P(B)\)，称事件\(A\)、\(B\)独立。实际上，若事件\(A\)发生与否和事件\(B\)无关，则\(A\)和\(B\)是独立的。
\[P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\]，若\(P(A)>0,P(B)>0\)，则：
\[P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(\bar A B)=P(B)-P(AB)\]
\(n\)个事件的相互独立
设\(A_1,A_2,...,A_n\)满足：
\[\forall 1 \leqslant n_1 <n_2<...<n_k \leqslant n,\\P(A_{n_1},A_{n_2},...,A_{n_k})=\prod\limits_{i=1}^k {P(A_{n_i})}\]
称\(A_1,A_2,...,A_n\)相互独立。
注：独立和不相容是两个概念。